Aloituspvm: 15.4.2026
Raja-arvon opiskelua ChatGPT:llä – 15.4.2026
Olen jonkin verran opiskelut raja-arvoa ja sitä koskien laskuja pitkän matematiikan kirjasta Tekijä – Pitkä matematiikka 6 – Derivaatta. Olen tehnyt joitakin kokeiluja raja-arvoa koskien ChatGPT:llä ja oppinut sen avulla raja-arvon laskemisesta.
Esimerkki 1. Annetaan ChatGPT:lle seuraava komento: “limit x -> 0 (1/x)” eli mikä on lausekkeen 1/x raja-arvo, kun x lähestyy nollaa (kummaltakin puolelta)?
Vastaus: Sitä ei ole olemassa.
ChatGPT antaa ainakin kaksi erilaista vastausta edellä olevaan liittyen:
“Since the left-hand limit and right-hand limit are not equal, the overall limit does not exist.”
ja
“Because the two sides go to different infinities, the limit is not defined.”
Eli lauseke on: 1 / x, ( f(x) = 1/x )
x = 10, niin y = 0,1
x = 2, niin y = 0,5
x = 1, niin y = 1
mutta, jos x on alle yhden, niin
x = 0,1 , niin y = 10
x = 0,01 , niin y = 100
Eli kun x:n arvot lähestyvät nollaa sekä vasemmalta että oikealta puolelta, niin y:n positiiviset ja negatiiviset arvot kylläkin etenevät kohti ääretöntä, mutta x ei voi koskaan saada arvoa nolla, koska nollalla ei voi jakaa.
Funktion f(x) = 1/x kuvaaja:
Matematiikka on taidetta!
Tietotekniikka matematiikan oppimisen välineenä – 9.4.2026
Sitaatti Alli Huovisen kirjoituksesta Kalevassa 17.4.2024: “Kynä, paperi ja paperiset kirjat ovat ne välineet, joilla matematiikka uppoaa parhaiten päähän.”
Tämä on tietysti yksilökohtaista, eikä tietokoneita pitäisi heti tuomita, jos ei jokin ole onnistunut peruskoulussa tai lukiossa. Itse olen harrastanut tietotekniikkaa jo vuodesta 1983 lähtien ja olen huomannut monessa monessa asiassa, että tietotekniikka on itse asiassa minulle ainakin parempi kuin moni perinteinen oppimisväline.
Viimeisin esimerkki tietotekniikasta ja etenkin tekoälystä oppimisen välineenä on raja-arvon opiskelu ChatGPT:llä. Vasta sitä kautta opin ja sain oivalluksen sekä tekstin että kuvien välityksellä, että 1/x :llä ei ole raja-arvoa, kun x lähestyy nollaa eli ChatGPT:ssä komento olisi: “limit x -> 0 (1/x)”. Olisi vaatinut paperilla ja kynällä melkoinen tovi, että olisin saanut taulukoitua ja piirrettyä kuvan ao. murtolausekkeesta. Eli vasta tietokoneen piirtämän kuvan kautta ymmärsin miksi raja-arvoa ei ao. murtolausekkeessa ole. Toinen hyvä tietotekninen työväline on GeoGebra. Ja kyllä niitä määrittelyjoukkoa on tullut tutkittua taulukoinneilla ihan tarpeeksi kynällä ja paperilla. Kolmas asia on se, että olen tehnyt C++:lla joitakin pikkuohjelmia esim. murtolausekkeiden laskemiseen. Se helpottaa kummasti ja nopeuttaa työtä.
Älkäämme tuomitko tietotekniikkaa!
Matematiikka on täynnä arvoituksia ja mysteereitä – ja hauskoja opiskelukömmähdyksiä – 18.3.2026
Matikka pitäisi nähdä arvoituksina, mysteereinä, jotka täytyy ratkaista ja joita on hauska ratkaista. “Täytyy”-sana edellä ei saa olla negatiivis- vaan positiivispainotteinen, sen voisi oikeastaan jättää pois. Totta kai joskus on tilanteita, että matikka on joltain osin tylsää, mutta niitä tylsiä hetkiä on kyllä on monessa muussakin asiassa. Ei kaikki aina voi olla yhtä suurta juhlaa ja onnistumista. Taiteessa ei tarvitse välttämättä olla tarkkana, mutta matikka edellyttää tarkkuutta. Esimerkkitehtävänanto: laskin tehtävää painetusta (!!!) PM 6 – Derivaatta -kirjasta, tarkoituksena oli jakaa eräs polynomi tekijöihin, jaoin sen termeihin. Olo oli huvittunut, kun katsoin tehtävän vastausta. “Mitä, minähän olin jakanut sen termeihin eikä tekijöihin, sekoittuiko sanat??”
Edellä sanan “painetusta” jälkeen on kolme kysymysmerkkiä.
–> Joissakin Kouluissa palataan painettuihin oppimateriaaleihin, kyniin ja kumeihin
Matematiikan aikuisopiskelijana (10.11.2024)
Seuraava postaus on kirjoitettu FB:n Rakastan matematiikkaa -ryhmään 10.11.2024.
Muutama päivä sitten postitse tuli kotiini lukion pitkän matikan kirja koskien trigonometrisiä funktioita. Heti kirjan alussa perehdytään pikkaisen yhdistettyyn funktioon ja asia oli minulle täysin uusi. Osa käsiteltävästä asiasta tuntui helpolta, mutta osa kovin kryptiseltä. Kirjassa on mm. kuvio, jossa “yritetään selittää” yhdistettyä funktiota, mutta kuvio ei minulle auennut, ja annoin asian toistaiseksi olla.
Jos vertaa nykyistä matikan opiskeluani peruskoulu- ja lukioaikoihin 1980-luvulla, niin silloin elämästä puuttui hyvin tärkeä asia, jota en silloin edes osannut kuvitellakaan eli Internet ja Youtube-videot ! Aikuisopiskelijan matikkamekka! Mainitsen tässä aivan mainiot Youtuben matikkavideot elikkäs Matikkamatskut (Ville Aitlahti, miellyttävä kertojaääni ja asioiden rauhallinen läpikäynti).
Kävin juuri äsken katsomassa älytelevisiosta Youtubesta olisiko siellä asiaa yhdistetystä funktiosta (ei varmasti ole, vaan olipa hyvinkin) ja heti ekaa videota katsottuani yhdistetyn funktion asia selvisi minulle.
Aikuisopiskelijan kannalta Internet ja esim. Youtuben matikkavideot ovat mainioita. Lyhyen matikan tunneilta lukiosta ei ole mitään mitä voisi toistaa yhä uudelleen ja uudelleen, mutta matikkavideot Youtubessa voi. Aikuisopiskelijalla ei ole ketään, joka pitäisi kädestä kiinni (eli opettaja), vaan itse on selvittävä. Ja jos tukea jostain haluaa, niin aina voi kysyä vaikkapa FB:n Rakastan matematiikkaa -ryhmästä! Siellä on monipuolisia tehtäviä sekä hyvää keskustelua.
Kirjoittaja: Samuli Heikkilä (C)