{"id":2653,"date":"2026-04-15T04:18:45","date_gmt":"2026-04-15T04:18:45","guid":{"rendered":"https:\/\/kaskipaja.net\/kaski\/?page_id=2653"},"modified":"2026-04-15T05:07:58","modified_gmt":"2026-04-15T05:07:58","slug":"matematiikasta","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/kaskipaja.net\/kaski\/matematiikasta\/","title":{"rendered":"Matematiikasta"},"content":{"rendered":"

Aloituspvm:<\/strong> 15.4.2026<\/p>\n

Raja-arvon opiskelua ChatGPT:ll\u00e4 – 15.4.2026<\/strong><\/p>\n

Olen jonkin verran opiskelut raja-arvoa ja sit\u00e4 koskien laskuja pitk\u00e4n matematiikan kirjasta Tekij\u00e4 – Pitk\u00e4 matematiikka 6 – Derivaatta. Olen tehnyt joitakin kokeiluja raja-arvoa koskien ChatGPT:ll\u00e4 ja oppinut sen avulla raja-arvon laskemisesta.<\/p>\n

Esimerkki 1.<\/strong> Annetaan ChatGPT:lle seuraava komento: “limit x -> 0 (1\/x)” eli mik\u00e4 on lausekkeen 1\/x raja-arvo, kun x l\u00e4hestyy nollaa (kummaltakin puolelta)?<\/p>\n

Vastaus:<\/strong> Sit\u00e4 ei ole olemassa.<\/p>\n

ChatGPT antaa ainakin kaksi erilaista vastausta edell\u00e4 olevaan liittyen:<\/p>\n

“Since the left-hand limit and right-hand limit are not equal<\/strong>, the overall limit does not exist.”<\/p>\n

ja<\/p>\n

“Because the two sides go to different infinities<\/strong>, the limit is not defined.”<\/p>\n

Eli lauseke on: 1 \/ x,\u00a0 (\u00a0 f(x) = 1\/x\u00a0 )<\/p>\n

x = 10, niin y = 0,1<\/p>\n

x = 2, niin y = 0,5<\/p>\n

x = 1, niin y = 1<\/p>\n

mutta, jos x on alle yhden, niin<\/p>\n

x = 0,1 , niin y = 10<\/p>\n

x = 0,01 , niin y = 100<\/p>\n

Eli kun x:n arvot l\u00e4hestyv\u00e4t nollaa sek\u00e4 vasemmalta ett\u00e4 oikealta puolelta, niin y:n positiiviset ja negatiiviset arvot kyll\u00e4kin etenev\u00e4t kohti \u00e4\u00e4ret\u00f6nt\u00e4, mutta x ei voi koskaan saada arvoa nolla, koska nollalla ei voi jakaa.<\/p>\n

Funktion f(x) = 1\/x\u00a0 kuvaaja:<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Matematiikka on taidetta!<\/p>\n

\n

Tietotekniikka matematiikan oppimisen v\u00e4lineen\u00e4 – 9.4.2026<\/strong><\/p>\n

Sitaatti Alli Huovisen kirjoituksesta Kalevassa 17.4.2024: “Kyn\u00e4, paperi ja paperiset kirjat ovat ne v\u00e4lineet, joilla matematiikka uppoaa parhaiten p\u00e4\u00e4h\u00e4n.”<\/p>\n

T\u00e4m\u00e4 on tietysti yksil\u00f6kohtaista, eik\u00e4 tietokoneita pit\u00e4isi heti tuomita, jos ei jokin ole onnistunut peruskoulussa tai lukiossa. Itse olen harrastanut tietotekniikkaa jo vuodesta 1983 l\u00e4htien ja olen huomannut monessa monessa asiassa, ett\u00e4 tietotekniikka on itse asiassa minulle ainakin parempi kuin moni perinteinen oppimisv\u00e4line.<\/p>\n

Viimeisin esimerkki tietotekniikasta ja etenkin teko\u00e4lyst\u00e4 oppimisen v\u00e4lineen\u00e4 on raja-arvon opiskelu ChatGPT:ll\u00e4. Vasta sit\u00e4 kautta opin ja sain oivalluksen sek\u00e4 tekstin ett\u00e4 kuvien v\u00e4lityksell\u00e4, ett\u00e4 1\/x :ll\u00e4 ei ole raja-arvoa, kun x l\u00e4hestyy nollaa eli ChatGPT:ss\u00e4 komento olisi: “limit x -> 0 (1\/x)”. Olisi vaatinut paperilla ja kyn\u00e4ll\u00e4 melkoinen tovi, ett\u00e4 olisin saanut taulukoitua ja piirretty\u00e4 kuvan ao. murtolausekkeesta. Eli vasta tietokoneen piirt\u00e4m\u00e4n kuvan kautta ymm\u00e4rsin miksi raja-arvoa ei ao. murtolausekkeessa ole. Toinen hyv\u00e4 tietotekninen ty\u00f6v\u00e4line on GeoGebra. Ja kyll\u00e4 niit\u00e4 m\u00e4\u00e4rittelyjoukkoa on tullut tutkittua taulukoinneilla ihan tarpeeksi kyn\u00e4ll\u00e4 ja paperilla. Kolmas asia on se, ett\u00e4 olen tehnyt C++:lla joitakin pikkuohjelmia esim. murtolausekkeiden laskemiseen. Se helpottaa kummasti ja nopeuttaa ty\u00f6t\u00e4.<\/p>\n

\u00c4lk\u00e4\u00e4mme tuomitko tietotekniikkaa!<\/p>\n

\n

Matematiikka on t\u00e4ynn\u00e4 arvoituksia ja mysteereit\u00e4 – ja hauskoja opiskeluk\u00f6mm\u00e4hdyksi\u00e4 – 18.3.2026<\/strong><\/p>\n

Matikka pit\u00e4isi n\u00e4hd\u00e4 arvoituksina, mysteerein\u00e4, jotka t\u00e4ytyy ratkaista ja joita on hauska ratkaista. “T\u00e4ytyy”-sana edell\u00e4 ei saa olla negatiivis- vaan positiivispainotteinen, sen voisi oikeastaan j\u00e4tt\u00e4\u00e4 pois. Totta kai joskus on tilanteita, ett\u00e4 matikka on joltain osin tyls\u00e4\u00e4, mutta niit\u00e4 tylsi\u00e4 hetki\u00e4 on kyll\u00e4 on monessa muussakin asiassa. Ei kaikki aina voi olla yht\u00e4 suurta juhlaa ja onnistumista. Taiteessa ei tarvitse v\u00e4ltt\u00e4m\u00e4tt\u00e4 olla tarkkana, mutta matikka edellytt\u00e4\u00e4 tarkkuutta. Esimerkkiteht\u00e4v\u00e4nanto: laskin teht\u00e4v\u00e4\u00e4 painetusta (!!!) PM 6 – Derivaatta -kirjasta, tarkoituksena oli jakaa er\u00e4s polynomi tekij\u00f6ihin, jaoin sen termeihin. Olo oli huvittunut, kun katsoin teht\u00e4v\u00e4n vastausta. “Mit\u00e4, min\u00e4h\u00e4n olin jakanut sen termeihin eik\u00e4 tekij\u00f6ihin, sekoittuiko sanat??”<\/p>\n

Edell\u00e4 sanan “painetusta” j\u00e4lkeen on kolme kysymysmerkki\u00e4.
\n–> Joissakin Kouluissa palataan painettuihin oppimateriaaleihin, kyniin ja kumeihin<\/p>\n

\n

Matematiikan aikuisopiskelijana (10.11.2024)<\/strong><\/p>\n

Seuraava postaus on kirjoitettu FB:n Rakastan matematiikkaa -ryhm\u00e4\u00e4n 10.11.2024.<\/p>\n

Muutama p\u00e4iv\u00e4 sitten postitse tuli kotiini lukion pitk\u00e4n matikan kirja koskien trigonometrisi\u00e4 funktioita. Heti kirjan alussa perehdyt\u00e4\u00e4n pikkaisen yhdistettyyn funktioon ja asia oli minulle t\u00e4ysin uusi. Osa k\u00e4sitelt\u00e4v\u00e4st\u00e4 asiasta tuntui helpolta, mutta osa kovin kryptiselt\u00e4. Kirjassa on mm. kuvio, jossa “yritet\u00e4\u00e4n selitt\u00e4\u00e4” yhdistetty\u00e4 funktiota, mutta kuvio ei minulle auennut, ja annoin asian toistaiseksi olla.<\/p>\n

Jos vertaa nykyist\u00e4 matikan opiskeluani peruskoulu- ja lukioaikoihin 1980-luvulla, niin silloin el\u00e4m\u00e4st\u00e4 puuttui hyvin t\u00e4rke\u00e4 asia, jota en silloin edes osannut kuvitellakaan eli Internet ja Youtube-videot ! Aikuisopiskelijan matikkamekka! Mainitsen t\u00e4ss\u00e4 aivan mainiot Youtuben matikkavideot elikk\u00e4s Matikkamatskut (Ville Aitlahti, miellytt\u00e4v\u00e4 kertoja\u00e4\u00e4ni ja asioiden rauhallinen l\u00e4pik\u00e4ynti).<\/p>\n

K\u00e4vin juuri \u00e4sken katsomassa \u00e4lytelevisiosta Youtubesta olisiko siell\u00e4 asiaa yhdistetyst\u00e4 funktiosta (ei varmasti ole, vaan olipa hyvinkin) ja heti ekaa videota katsottuani yhdistetyn funktion asia selvisi minulle.<\/p>\n

Aikuisopiskelijan kannalta Internet ja esim. Youtuben matikkavideot ovat mainioita. Lyhyen matikan tunneilta lukiosta ei ole mit\u00e4\u00e4n mit\u00e4 voisi toistaa yh\u00e4 uudelleen ja uudelleen, mutta matikkavideot Youtubessa voi. Aikuisopiskelijalla ei ole ket\u00e4\u00e4n, joka pit\u00e4isi k\u00e4dest\u00e4 kiinni (eli opettaja), vaan itse on selvitt\u00e4v\u00e4. Ja jos tukea jostain haluaa, niin aina voi kysy\u00e4 vaikkapa FB:n Rakastan matematiikkaa -ryhm\u00e4st\u00e4! Siell\u00e4 on monipuolisia teht\u00e4vi\u00e4 sek\u00e4 hyv\u00e4\u00e4 keskustelua.<\/p>\n

\n

Kirjoittaja:<\/strong> Samuli Heikkil\u00e4 (C)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Aloituspvm: 15.4.2026 Raja-arvon opiskelua ChatGPT:ll\u00e4 – 15.4.2026 Olen jonkin verran opiskelut raja-arvoa ja sit\u00e4 koskien laskuja pitk\u00e4n matematiikan kirjasta Tekij\u00e4 – Pitk\u00e4 matematiikka 6 – Derivaatta. Olen tehnyt joitakin kokeiluja raja-arvoa koskien ChatGPT:ll\u00e4 ja oppinut sen avulla raja-arvon laskemisesta. Esimerkki 1. Annetaan ChatGPT:lle seuraava komento: “limit x -> 0 (1\/x)” eli mik\u00e4 on lausekkeen 1\/x …<\/p>\n

Matematiikasta<\/span> Read More »<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","theme-transparent-header-meta":"default","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"set","footnotes":""},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/kaskipaja.net\/kaski\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2653"}],"collection":[{"href":"https:\/\/kaskipaja.net\/kaski\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/kaskipaja.net\/kaski\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/kaskipaja.net\/kaski\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/kaskipaja.net\/kaski\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2653"}],"version-history":[{"count":17,"href":"https:\/\/kaskipaja.net\/kaski\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2653\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2671,"href":"https:\/\/kaskipaja.net\/kaski\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2653\/revisions\/2671"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/kaskipaja.net\/kaski\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2653"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}